¿El padre tiene derechos aún si no registra al bebé?

Después de casi dos años en unión libre y a casi un mes de dar a luz me he separado de mi pareja. Él vive en otra ciudad y desde que nos separamos no se ha comunicado absolutamente, para nada he decidido registrar a mi bebé como madre soltera, pero temo por el día que le padre quiera venir a reclamar derechos.

Destaco que cuando estábamos juntos ambos trabajábamos y los gatos médicos fueron por mi cuenta, ahora que estamos separados los gastos con respecto al bebé han ido por cuenta mía y de mis padres.
¿Qué podría pasar en estos casos?