¿Me pueden despedir de mi trabajo si me exigen quitarme la barba y me niego?

No; no, te pueden despedir.
Sí renuncias sin ninguna causa, no tienen por qué darte nada más que lo que tengan retenido en ese momento, es decir: Los días que lleves trabajado previo a tu renuncia, lo que lleves ganado de aguinaldo y los días que lleves ganado de vacaciones; PERO, si tu renuncia obedece a las presiones de trabajo, al acoso, a que te pretender variar las condiciones laborales en lo más mínimo, (Horario, Puesto, Plaza, funciones, obligaciones obligar a tiempo extra, y sobre todo te hacen cualquier rebaja de sueldo, disfrazado de cualquier pretexto) o simplemente porque las condiciones laborales, (Incluyendo la relaciones con patrón supervisores u otros compañeros, hostilidad agresividad, etc.) no son las más optimas, adecuadas seguras o simplemente no estas a gusto, y estas razones son las que te están orillando a pensar en tu renuncia, tienes derecho a la indemnización de ley incluyendo tres meses de sueldo, catorce días por cada año laborado y a que te paguen durante el Juicio. Garantizado. Desde que cumpliste un mes trabajando, si te despiden, tienes el derecho de recibir, indemnización de noventa días de salario, catorce días por año laborado, tus aportaciones al imss afore e infonavit, completas y al corriente desde que iniciaste a trabajar hasta la semana del despido, tu reparto de utilidades de los dos últimos años, tu aguinaldo completo, lo que lleves ganado de días de vacaciones desde la última vez que las tomaste más el veinticinco por ciento de esta cantidad como prima vacacional, todas las prestaciones extras que de tu empresa, como vales, premios, ayuda de útiles etc. tu caja de ahorro integra (Y si el patrón te aportaba algo NO PUEDE RETIRARTELO). Además, si tienes la necesidad de demandarlo tienes el derecho de que te siga pagando hasta que se soluciones el conflicto y te des por pagada ante la junta y le firmes el desistimiento de la demanda.