¿Puedo solicitar la gurda y custodia?

¡Hola! Buenas tardes, ojalá pudieran ayudarme mi caso. Mi caso es este, tengo un hijo de 6 años. En el 2010, aún viviendo con el papá de mi hijo, me metí a trabajar, pero en abril del 2011 él me corrió de la casa en la madruga y no me dejó sacar a mi bebé, así pasó una semana, yo seguí trabajando pero él sí me demandó y quiso quitarme la custodia del bebé, pero falló a mi favor y acordamos una pensión de $800 mensuales, todo esto sólo fue ante el DIF, pero a la semana regresamos y nada de lo que acordamos se hizo válido, así pasamos un año, pero en julio del 2012 todo empeoró, ya que él me golpeó, pero yo no me salí por miedo de volverme a quedar sin mi hijo, así que hablé con su mamá y le pedí que me apoyara con el cuidado de mi hijo para poder meterme a trabajar, ya que yo no contaba con el apoyo de mi mamá y en agosto del mismo año entré a trabajar y en octubre yo me salí de su casa con mi hijo dejando toda la casa amueblada, ya que él nunca compró nada, pero bueno, en mis días de descanso yo lo dejaba ver al niño, pero un día él se lo llevó argumentando que yo no tenía tiempo para el niño, que mejor se lo dejara a su mamá, entonces yo acudí al Instituto de la mujer, ahí me atendió un abogado el cual me dijo que no se podía hacer nada, ya que él era su padre y yo había abandonado el hogar, esto duró de noviembre 2012 a febrero 2013 hasta que hice lo mismo que él, me lo llevé sin decir nada. Ahora él tiene 6 años, sólo le ha mandado dinero un par de ocasiones, no le llama y yo lo tengo que andar buscando para que vea al niño. Mi pregunta es ¿puedo solicitar la gurda y custodia?